INTERFERENCE IN THIN FILM - DERIVATION

Hints and formulae :

* from triangle 1 , BM / BE = sin i

               

               BM = BE sin i  ----------------> 1

* According to Snell’s Law , µ = sin i / sin r ,

                        

               Sin i = µ sin r  ----------------> 2 

* from triangle 2 , BL / BD = sin r  ( BL = 1/2 BE )

                   1/2 BE / BD = sin r 

                       

               BE = 2 BD sin r  ---------------> 3 

* from triangle 2 , DL / BD = cos r  (DL = t)

                t / BD = cos r   ----------------> 4

Interference due to the Reflected Beam

Derivations : 

from E , draw a normal EM to BC. The path difference between the waves BC and EF ,

δ = (BD+DE)M - (BM)A

                       Since, µ = λM / λA , i.e., λM = µ λA

δ = µ(BD+DE)A - (BM)A      (from the diagram,BD=DE)

So, δ = µ(2BD) - (BM)

                       From equation 1, BM = BE sin i

So, δ = 2µBD - BE sin i

                       From equation 2, Sin i = µ sin r

So, δ = 2µBD - BE(µ sinr)

                       From equation3, BE = 2 BD sin r 

So, δ = 2µBD - 2µBDsin2r

δ = 2µBD (1-sin2r)   :  δ = 2µBD cos2r

                    From equation 4, t / BD = cos r 

δ = 2µBD cosr . cosr

δ = 2µBD(t/BD).cosr

δ = 2µt cosr

 * Any light ray undergoing Reflection at the surface of a Denser medium will suffer a Phase change of Π or an additional Path difference of λ/2.

 * At B due to reflection, there is an additional Path difference λ/2

So the effective path difference is , δ =2µt cosr + λ/2

For constructive Interference ,δ = nλ

 i.e., δ =2µt cosr + λ/2 = nλ (or) 2µt cosr + λ/2 = nλ

So,  2µt cosr = λ/2 (2n-1)

For destructive Interference , δ =(2n+1)λ/2

 i.e., δ =2µt cosr + λ/2 = (2n+1)λ/2 

                  

   (or)

         2µt cosr + λ/2 = (2n+1)λ/2 

  

So,  2µt cosr = nλ

      If light is incident Normally ,i = 0 and hence r = 0 ,

therefore the condition for Bright fringe is ,

             2µt = (2n-1)λ/2

And the condition for Dark fringe is ,

             2µt = nλ